向偶数舍入

舍入运算

舍入运算是我们平时使用的比较多的运算，最近看 CSAPP 学到了一些关于舍入运算的更详细的内容，在这里记录一下。

舍入方式

IEEE754 定义了四种不同的舍入方式：

• 向偶数舍入

• 向零舍入

• 向下舍入

• 向上舍入
  IEEE754 默认采用向偶数舍入，用来找到最接近的匹配近似值。而其他三种方式则用于计算上下界。

下表是按照四种不同的方式保留整数后的舍入结果（图与 CSAPP 上一致）：

我这里只讨论向偶数舍入，其他舍入方式还是比较容易理解的。

我在看这个示例的时候，看到 1.40 向偶数舍入结果是 1 这个奇数，我是懵的，后来查了查解释向偶数舍入并不是直接舍去进偶数，有个口诀：四舍六入五凑偶或四舍六入五成双。（我在上物理实验课时数据处理也是这个规则）。注意：这里的口诀只针对十进制，因为向偶数舍入也可以应用于二进制，后面会介绍。

向偶数舍入

向偶数舍入是可以更好的避免系统误差。

如果我们使用向上舍入，那么这组数据计算出来的平均值是比这些数本身的平均值略高的。如果我们是用向下舍入，那么这组数据计算出来的平均值是比这些数本身的平均值略低的。而如果我们使用向偶数舍入，那么它有 50% 的时间是向上舍入， 50% 的时间是向下舍入。

规则

向偶数舍入有以下规则：

• 如果最接近的值唯一，则直接向最接近的值舍入。
• 如果是处在中间值，那么要看保留位是否是偶数，如果是偶数则直接舍去后面的数不进位，如果是奇数则进位后再舍去后面的数。

这里我们提到了两个概念：中间值和保留位，我们在这里对这些概念进行解释。

保留位(Guard bit)、近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)、中间值

对十进制来说，如果我们需要保留两位小数，即保留十分位和百分位上的数。那么保留位(Guard bit)就是结果的最低位，即百分位；近似位(Round bit)就是第一个被舍掉的位，即千分位；而千分位之后的所有位（包括万分位、十万分位等等）构成粘滞位(Sticky bit)。

同理，对于二进制，如果我们想要保留两位小数，那么小数点右边第二位就是保留位(Guard bit)，小数点右边第三位就是近似位(Round bit)，小数点右边第四位开始一直向右的所有小数位或起来构成粘滞位(Sticky bit)。

中间值

求中间值的方法如下：

1. 保留位(Guard bit)和左边的数字保持不变；
2. 近似位(Round bit)改写为 N/2（N为进制数，十进制就是10，二进制就是2）
3. 粘滞位(Sticky bit)全部写零

原始值(十进制)	中间值 (保留一位小数)	中间值 (保留两位小数)
1.334	1.350	1.335
1.622	1.650	1.625
1.744	1.750	1.745
1.835	1.850	1.835
1.668	1.650	1.665
1.774	1.750	1.775
1.488	1.450	1.485

原始值(二进制)	中间值 (保留一位小数)	中间值 (保留两位小数)
1.101	1.110	1.101
101.111	101.110	101.111
11.001	11.010	11.001
1.010	1.010	1.011
1.100	1.110	1.101

有了对这些概念的理解，我们以例子来理解向偶数舍入。

十进制举例

对于以下十进制的数值，我们采用向偶数舍入的方式，保留精确度到十分位，即保留一位小数。

1. 第一组例子：

   原始值	中间值	近似值 (向偶数舍入)
   1.36	1.35	1.4
   1.751	1.75	1.8
   1.852	1.85	1.9
   1.77	1.75	1.8
   1.45001	1.45	1.5

   可以看到，上述这些原始值都比中间值要大，也就是“四舍六入五成双”中的“六入”。所以都向十分位进一，从而使得损失的精度最小。

2. 第二组例子：

   原始值	中间值	近似值 (向偶数舍入)
   1.33	1.35	1.3
   1.74	1.75	1.7
   1.82	1.85	1.8
   1.71	1.75	1.7
   1.43	1.45	1.4

   可以看到，上述这些原始值都比中间值要小，也就是“四舍六入五成双”中的“四舍”。所以直接舍弃，不进位，从而使得损失的精度最小。

3. 第三组例子：

   原始值	中间值	近似值 (向偶数舍入)
   1.35	1.35	1.4
   1.75	1.75	1.8
   1.85	1.85	1.8
   1.25	1.25	1.2
   1.45	1.45	1.4

   可以看到，上述这些原始值和中间值相等，也就是“四舍六入五成双”中的“五成双”。对于这些和中间值完全相等的原始值，我们考察保留位(Guard bit)，如果保留位是偶数，则直接舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)；如果保留位是奇数，则先向保留位进一，之后舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)。这样，结果中的保留位就是偶数了。这就是向偶数舍入 名字的由来。1.35 保留位是 3，是奇数，所以我们需要向保留位进一然后舍去后面的近似位和粘滞位，变成 1.4。1.85 保留位是 8，是偶数，所以我们可以直接舍去后面的近似位跟粘滞位，变成 1.8。

   所以到这里我们就知道了最初的 1.40 不保留小数，舍入直接变成 1 的原因了，因为中间值是 1.5，1.4 小于 1.5，所以我们直接舍去。

   在我们平时计算的时候，我们可以直接看近似位（保留位的后一位），如果小于 5，那我们直接舍去近似位和粘滞位，如果大于 5，我们进位再舍去近似位和粘滞位，如果等于 5，我们就需要看保留位是否为奇数，为奇数我们就需要进一然后舍去近似位和粘滞位，否则，我们直接舍去近似位和粘滞位。

二进制举例

前面说过，向偶数舍入可以应用于二进制。在二进制中，我们将最低有效位的值 0 认为是偶数，值 1 认为是奇数。跟我们平时说的奇偶一致。

对于以下二进制的数值，我们采用向偶数舍入的方式，保留一位小数。

1. 第一组例子：

   原始值(二进制)	中间值	近似值 (向偶数舍入)
   1.111	1.11	10.0
   1.0101	1.01	1.1
   1.0111	1.01	1.1

   可以看到，上述这些原始值都比中间值要大，也就是“四舍六入五成双”中的“六入”。所以都向小数点右边第1位进一，从而使得损失的精度最小。这里是二进制了，所以 1 进一之后变成了 10。

2. 第二组例子：

   原始值(二进制)	中间值	近似值 (向偶数舍入)
   1.001	1.01	1.0
   1.10	1.11	1.1

   可以看到，上述这些原始值都比中间值要小，也就是“四舍六入五成双”中的“四舍”。所以直接舍弃，不进位，从而使得损失的精度最小。

3. 第三组例子：

   原始值(二进制)	中间值	近似值 (向偶数舍入)
   1.110	1.11	10.0
   1.010	1.01	1.0

   可以看到，上述这些原始值和中间值相等，也就是“四舍六入五成双”中的“五成双”。对于这些和中间值完全相等的原始值，我们考察保留位(Guard bit)，如果保留位是偶数，则直接舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)；如果保留位是奇数，则先向保留位进一，之后舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)。这样，结果中的保留位就是偶数了。这就是向偶数舍入 名字的由来。

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参考文章：

IEEE754浮点数 向偶数舍入 - 爱码网 (likecs.com)